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假设测试的阿喀琉斯是属于I型的受控系统，可以很好的被控制，根据测试结果用比较合适的采样和执行周期，比如每5秒钟检测一次位置情况并分别用P模型PI模型和PID模型来说明一下具体追赶过程。

第一种模型：在P模型下，只有比例环节P=2，周期为2秒通知。第一个2秒阿喀琉斯跑了55米，乌龟爬了0.01米，误差还有4.5%，PID算法得出下面需要用9%的力量去跑，又过了2秒，阿喀琉斯还落后乌龟1米，那么阿喀琉斯需要用2%的速度向前跑，又过了2秒，阿喀琉斯还落后了乌龟1米，控制系统告知阿喀琉斯需要用2%的速度向前跑，结果1个小时过去了，阿喀琉斯始终在乌龟的后面1米的位置，2%的速度基本和跑步机向后的速度相当了，始终无法与乌龟位置一致。系统已经稳定了，还始终存在这样一个偏差，就是稳态误差，看来想要消除这个误差，我们需要用下一个模型-PI模型。

▲比例P模型参考图

第二种类型，在PI模型下，在加入了积分环节后，假设积分时间设为30秒，那么根据公式，要计算阿喀琉斯在过去的30秒总共累积了多少误差（即把每次的误差都累加起来）。如上文2秒钟一通知，30秒会通知15次，这15次测量的距离误差都加起来。，开始的时候距离比较远，积分项会给阿喀琉斯带来更快的速度指令，但由于是考虑了之前的误差正向的，所以即使刚刚跑过了，15次误差的和还是正向的，所以会一直指导阿喀琉斯向前冲到下图1的位置，这个时候过去的累积误差已经是负的了，才要求阿喀琉斯向后跑，整个向后的过程又重复之前的累积误差，直到冲到下图2的位置才向前，所以Zui后的效果就是1-2-3-4-5，阿喀琉斯慢慢的向乌龟靠近，随着时间的推移，误差越来越小，Zui后达到消除了稳态误差。

▲比例积分PI模型参考图

然而在上一个PI模型下，我们是否察觉阿喀琉斯来回跑的次数太多了？明明已经超过了乌龟很远了，还不回头（阿喀琉斯：PID控制器让我这么做的，你以为我不想回头吗！）。为了解决这个问题，需要引入微分分量，就是解决对未来趋势预测的问题，高等数学中讲到过微分就是求导，已知位置对时间的导数就是速度，速度对时间的导数就是加速度。用前一次误差减去当前次误差，如果有变化，因为测量的时间段相同，所以就意味着误差改变率发生了变化，就能预测未来下一次可能出现的误差会是什么样，就像我们知道了加速度的变化就可以推测速度的趋势是一个道理。按上面PI的算法，前一次误差假设是5%，当前误差是3%，因为是每两秒钟测量一次，所以计算的微分项是3%减去5%，再除以时间，得到-1%的的积分项，如果积分时间是30秒，代表这样的积分效果要持续30秒时间。这样当阿喀琉斯越靠近乌龟，减少效果越明显，当阿喀琉斯超过了乌龟的位置，比如超过了1%，那么微分项是-1%减去之前的3%，再除以采样时间2秒，得到-2%的减速项，这样的减速效果还要持续30秒的时间，可以看到增加了微分项能有效减少阿喀琉斯超出乌龟的位置，如下图13，只要找到合适的微分时间就能使阿喀琉斯提前减速，在刚刚超越乌龟的时候就往回返，快速稳定的和乌龟保持同一位置。

▲比例积分PID模型参考图

Zui后我们动态的显示下，追赶过程中各个参数的变化对追赶路径的影响，下图红线表示乌龟的位置，蓝色线表示阿喀琉斯的追赶位置。

▲比例积分PID模型参数变化效果模拟图

阿喀琉斯没有发生类似于龟兔赛跑的“悲剧”，善跑的称号得以保留。由此，在上面的例子里我们知道了PID的控制就是要对执行机构有非常细致的了解，并且找到与受控系统相匹配的参数。那么在实际生活中用到的各个系统，都非常复杂，如何找到合适的参数，达到预想的控制效果呢？下面就介绍一下典型的受控系统类型的经验参数选择和电脑自适应调参数的过程。

▲特定受控系统的一般参数

了解了各个物理量的性能特性，就像知晓了阿喀琉斯的跑步能力，再根据需要选择合适的控制器类型和参数。

下表概述了控制器结构与物理量的各种组合的适宜性。

▲特定物理量的控制器结构推荐

知道适用规则了，还有很多在实际项目中的参数设置的经验（Gain表示比例参数）